matrix...

A. MENERAPKAN KONSEP MATRIKS

1. Pengertian Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.

Jenis Kelamin
Kelas Putra Putri Jumlah

II Ak 1 28 15 43
II Ak 2 32 10 42
Jumlah 60 25 85

Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Syarat – syarat suatu matriks :
1. Unsur – unsurnya terdiri dari bilangan – bilangan
2. Mempunyai baris dan kolom
3. Elemen – elemennya berbentuk persegi panjang dalam kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua .
Kegunaan matriks :
1. Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung bermacam – macam variable.
2. Digunakan dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan , misalnya masalah operasi penyelidikan sumber – sumber minyak bumi dan sebagainya.
3. Dikaitkan dengan penggunaan program linear, analisis input output baik dalam ekonomi, statistic, maupun dalam bidang pendidikan, manajemen, kimia, dan bidang – bidang teknologi yang lainnya.


Matriks lazimnya akan dinotasikan dengan sebuah huruf besar yang dicetak tebal ( A, B, dan seterusnya ), dan elemen – elemen yang dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak miring ( a, b, dan seterusnya ).
Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.
Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2.

Contoh :
A =





Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo ditulis atau .
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

Ordo suatu matriks biasa dituliskan dalam bentuk perkalian antara jumlah baris dan jumlah kolom. Jadi, jika suatu matriks memiliki baris sebanyak m dan kolom sebanyak n maka dapat dikatakan matriks tersebut memiliki ordo m × n. Banyaknya elemen matriks berordo m × n adalah m × n.


B. MATRIKS – MATRIKS ISTIMEWA

B.1. Matriks Istimewa Berdasarkan Jumlah Baris dan Kolom
Adapun beberapa matriks istimewa yang dilihat berdasarkan jumlah baris dan kolom yaitu matriks baris, matriks kolom, dan matriks persegi( matriks bujur sangkar ).

1. Matriks Baris
Matriks Baris adalah matriks dengan satu baris elemen. Jadi, matriks baris adalah matriks yang berordo 1 × k, dengan k menunjukkan jumlah elemen matriks tersebut.

Contoh : A = merupakan matriks baris berordo 1 × 4

2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom elemen. Jadi, matriks kolom adalah matriks berordo l × 1, dengan l menunjukkan jumlah elemen matriks tersebut.
Contoh : A = merupakan matris kolom berordo 3 × 1

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom
Contoh : A = , jumlah baris = jumlah kolom

B.2. Matriks Istimewa Berdasarkan Sifat Elemen – Elemennya

Ditinjau dari sifat – sifat elemen – elemennya terdapat beberapa matriks istimewa, di antaranya adalah matriks segitiga, matriks diagonal, matriks identitas, dan matriks nol.

1. Matriks Segi Tiga
Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .
Contoh : C = , D =

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.
Matriks segitiga dapat dibagi menjadi matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks yanga berdiagonal atas dapat dilihat pada contoh matriks D, sedangkan matriks yang memiliki diagonal bawah dapat dilihat pada contoh matriks C.

2. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen bernilai nol kecuali diagonal utamanya.

Contoh : E =

Keterangan : Angka (5, 7, -2, 8) merupakan diagonal utamanya.

3. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh : I3 = , I4 =

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

4. Matriks Nol
Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis dengan huruf O.
Contoh : = merupakan matriks nol yang berordo 2 × 3




C. TRANSPOSE SUATU MATRIKS ( notasinya At atau A, )

Transpose suatu matriks adalah matriks baru yang diperoleh dari suatau matriks asal dengan mempertukarkan antara elemen kolom dan elemen barisannya.
Jika diketahui suatu matriks A dengan ordo m × n, maka transpose matriks tersebut adalah matriks berordo n × m. Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.

Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah At =

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

Sifat-sifat matriks transpose :

1) ( A + B )t = At + Bt
2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At
4) ( kA )t = kAt, dengan k = konstanta

Dalam pembahasan transpose dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang sama transposenya. Matriks Simetri merupakan suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .
Contoh : G =
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.


D. KESAMAAN MATRIKS

Kesamaan antara dua matriks tidak hanya ditentukan oleh kesamaan ordo kedua matriks itu. Dua matriks dikatakan sama ( identik ) jika ordo keduamatriks itu sama dan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks sama nilainya. Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B


Contoh :
A = dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu

Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.

E. OPERASI ALJABAR PADA MATRIKS

Pada operasi aljabar dapat berupa penjumlahan atau pengurangan matriks dan perkalian matriks.

1. Penjumlahan pada Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapatdijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh : Jika A = dan B =

Maka A + B = =

A – B = =
Adapun beberapa sifat dasar yang dimiliki operasi penjumlahan pada matriks. Untuk A, B, C, dan 0 ( matriks nol ) yang merupakan matriks – matriks berordo yang sama, berlaku sifat – sifat berikut :
1) A + B = B + A ( sifat komutatif )
2) A + (B + C ) = ( A + B ) + C ( sifat asosiatif )
3) Terdapat matriks identitas penjumlahan, yaitu matrik nol sehingga berlaku A + 0 = 0 + A = A untuk setiap matriks A.
4) Terdapat invers penjumlahan sehingga berlaku A + (- A) = - A + A = 0, yang dimaksud dengan matriks – A atau matriks lawan dari matriks A adalah matriks yang elemen – elemennya merupakan negative dari elemen – elemen dari matriks A yang seletak.
2. Pengurang pada Matriks
Pada prinsipnya, operasi pengurangan pada matrik sama dengan operasi penjumlahan pada matrik. Sehingga sifat – sifat pada operasi pengurangan pada matrik sama dengan operasi pengurangan pada metriks, yaitu :
1) A – B = A + (- B )
2) A – B = C
3) A + B = C, maka berarti B = C – A dan A = C – B

3. Perkalian pada Matriks

Operasi perkalian pada matriks terdiri dari operasi perkalian antara matriks dengan suatu scalar dan perkalian antarmatriks (matriks dengan matriks).
3.1 Perkalian antara Matriks dengan Skalar
Jika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.
Jadi, jika A , maka: kA

Contoh : Misal A = maka 3A = 3 =

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.
Jika a dan b bilangan real, maka :
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA ) = (ab)A
4) 1 × A = A
5) 0 × A = 0
6) (- 1) A = - A


3.2 Perkalian antar Matriks
Matriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang berordo p n adalah matriks C
yang berordo m n.

A m p.B p n = C m n.


Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :
Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A = ordo matriks 2 3
B = ordo matriks 3 2

C = A . B
= ordo matriks 2 2

Dimana




F. INVERS DAN DETERMINAN

1. Menentukan Determinan dan Invers



1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A =
Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
samping disebut determinan matriks A.
Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc
Contoh : Jika A = maka det A =
= ( 1)(4) – (2)(-3)
= 4 +6
= 10


2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Matriks A =

Cara menentukan det A sebagai berikut :
Cara 1 : det A =
=

Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus
det A =

- - - + + +
=

3). Invers Matriks Bujur Sangkar
Jika A dan B matriks ordo n x n, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.
Contoh : Misal A = dan B =
Maka BA = = = I

Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1
maka A-1A = I

Jika A = maka invers A (ditulis A-1)
dan dirumuskan

Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.

Matriks mempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) 0.

Jika (ad – bc) = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.Matriks yang
determinannya = 0, dinamakan matriks Singular.
Sifat sifat invers matriks dan penggunaanya
a. Sifat sifat invers matriks
Diketahui matrik A dan B adalah matriks persegi, A-1 invers dari A dan B-1 invers dari B, serta I matriks identitas, maka berlaku sifat sifat invers matriks sebagai berikut:
1. AA-1 = A-1A = I
2. (A-1)-1 = A
3. (AB)-1 = B-1A-1
4. (At)-1 = (A-1)t

Sifat sifat invers matriks matriks hanya berlaku pada matriks non singular






. Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks
1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan
Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut


Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan
D = =
Dx = =
Dy = =
Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan dan